ドメインのレジストラ（JPドメインの場合は指定事業者）を変更する場合の流れを紹介します。

基本的な流れは.comなどのgTLDも.jpなどのccTLDも同じです。
gTLDの場合、変更先レジストラのホームページで「ドメイントランスファー」といった感じのページがあると思います。そこで移動したいドメイン名を入力してトランスファーを申請します。
ccTLDの場合は変更先の指定事業者にお願いしてトランスファーをかけてもらいます。

すると現在のレジストラから登録されている管理者宛てに確認のメールが届きます。
管理者アドレスはWHOISで確認することができます。

gTLD　⇒「Administrative Contact」に登録されているアドレス
ccTLD ⇒「y. [通知アドレス]」に登録されているアドレス

WHOIS(gTLD)http://www.dnsstuff.com/
WHOIS(ccTLD)http://whois.nic.ad.jp/cgi-bin/whois_gw

基本的に受け取ったメールに返信するか、メール中に書かれているWebページで承認するといった簡単な手続きです。ただし、数時間以内に承認しなさいといった期限が設けてあるため、すばやく返答できる生きたアドレスである必要があります。トランスファーの前には管理者アドレスを確認したほうが良いでしょう。
以前行った Network Solution からの移管では、確認メールは当然の事ながら全て英語でした。作業としてはメール中のリンクから承認ページでボタンを押すだけなのですが、そのリンクの前に「ISPを変更するだけならトランスファーは必要ありません。管理画面でDNS等変更すればよい」といった誘導があるのでよく読んで実行しましょう。
承認さえすめば後は特に作業はありません。

.org/.biz/.infoドメインのAuth Code
.org/.biz/.infoドメインについては不正なトランスファー防止のため？ドメイン登録時にAuth Code(authorization key)なるものが付けられ、レジストラが管理しています。これらドメインのトランスファーには事前に現レジストラに問い合わせて入手する必要があります。管理画面等から確認できるレジストラもあるようですが、Network Solution では直接問い合わせる必要がありました。
FAQには Network Solutions から他のレジストラへ移管する方法の記述は見当たらず、問合せ先も分からなかったのですが、同サイトのWHOISで自ドメインを検索すると customerservice といった宛先があったので、とりあえず出して見たところ当たりでした。
取り合わせは次のような文面です。
送信者は管理者のアドレスと合わせたほうが良いでしょう。

件名：[Auth-code issue request] hoge.org
Dear Network Solution

I'm Administrator of hoge.org domain.

I would like to transfer my domain name from Network Solution to another registrar.
Could you please provide me with an Auth-code to my admin contact email address?

My domain is below.

[hoge.org]
----------------

Thank you for kindly attending to my request.
Best Regards,

しかし、1通目は無視され、2通目は間違ったコードを通知され、3通目でやっと入手できました。故意か事故か分かりませんが3日待っても返信がこない場合はしつこく問い合わせた方が良いでしょう。